Combinare 2 Giochi Perdenti Per Ottenere 1 Vincente (Paradosso Di Parrondo)

Il paradosso di Parrondo è un noto calcolo di probabilità illustrato dall'omonimo fisico spagnolo che consente tramite due eventi singolarmente perdenti (all'infinito) di generare una vincita tramite la combinazione degli stessi. Dunque due giochi distinti e a lungo andare perdenti (come il lancio di una moneta in aria "leggermente" truccata, cioè sbilanciata verso testa o croce) possono generare una vincita, combinando gli stessi. Come si sa, due sistemi instabili possono essere combinati in modo da ottenere, nel complesso, un sistema stabile. È incredibile pensare che questo si possa anche applicare nel caso di giochi d’azzardo. Ora vediamo due giochi perdenti, la combinazione degli stessi, darà invece la vincita.

Gioco A
Supponiamo di avere una moneta truccata con una leggera preferenza per Croce e di puntare una moneta su Testa: se esce, vinco una moneta, altrimenti la perdo. Le probabilità, all'infinito, sono contro le mie giocate. Continuando a giocare, nel lungo periodo, perdo.

Gioco B
Ora ho due monete diverse, Mfav a mio favore e Mcon che invece è contro di me. Se il mio capitale è un multiplo di 3, uso quella svantaggiata. Altrimenti, quella a me più favorevole. Anche in questo caso, le probabilità di vincita sono contro di me (ossia, il vantaggio di giocare con la moneta Mfav non compensa le perdite di quando uso la moneta Mcon). Continuando a giocare, nel lungo periodo, anche in questo caso perdo. Vedetela anche così: stiamo usando 2 monete (cui assegniamo le sigla 2con e 3fav). La moneta 2con ci sfavorisce molto: dà testa solo 50 volte su 1000 (una volta su 20: 5%). La moneta 3fav ci favorisce, dà testa 700 volte su 1000. Altra regola del gioco è che puntiamo sulla moneta 2con solo se abbiamo in tasca un numero di monete esattamente divisibile per 3. Se questo numero non è divisibile per 3, usiamo la moneta 3fav. Con questo gioco, la probabilità di vincere è 1/3 (la percentuale delle volte che usiamo la moneta 2con) moltiplicato 0,05 (cioè 1/20) che dà 0,01666... più 2/3 moltiplicato per 0,7 che vale 0,46666. La somma delle 2 probabilità vale 0,48333: meno del 50%.

Dunque sia con il Gioco A che con il Gioco B alla fine sono destinato a perdere. Scegliamo ora una strategia per combinare i due giochi. Ad esempio, usiamo due volte il Gioco A, poi 2 volte il Gioco B e così via. Cosa succederà? Consideriamo un giocatore che ha a disposizione un certo capitale C, e può puntare ripetutamente in un gioco con probabilità di vittoria p > 1/2 (ma non troppo lontana dall'equilibrio, ad esempio p = 0.51). Supporremo che il giocatore segua una strategia che lo porta a puntare una frazione fissata f del suo capitale in ogni mano (ad esempio, potrebbe essere f = 5%).

Il capitale atteso, dopo una partita, è pari a: E[C(1)] = C(0)[p(1 + f) + (1 - p)(1 - f)] = C(0)[1 + (2p - 1)f]

e, dopo n partite, avremo un capitale medio pari a: E[C(n)] = C(0) (1 + (2p − 1)f )n .

Ad esempio, scegliendo p = 0.51, f = 0.05, n = 1000, si ottiene: E[C(n)] = (1 + 0.02 * 0.05)1000C(0) = 2.717C(0).

Tuttavia, quando p è appena maggiore di 1/2, ad esempio p = 0.51, si ottiene che la mediana (ossia, il valore del capitale che viene raggiunto il 50% delle volte) è minore del capitale iniziale!
La mediana della variabile C(n) vale M[C(n)] = C(0) exp (n p log(1 + f ) + n(1 − p) log(1 − f )) .
Nell'esempio numerico, risulta M[C(n)] = 0.778 C(0). La strategia di gioco che implica di puntare, ad ogni turno, una frazione fissata del nostro capitale, anche se in media è molto conveniente, ci espone a perdere oltre la metà delle volte; anzi, nel 50% delle partite avremo una perdita di almeno il 22% del nostro capitale iniziale!

Supponiamo ora che il giocatore faccia due fondi, C1(n) e C2(n), ponendo in entrambi la metà della sua fortuna e giocando due partite in parallelo. Una simulazione al computer ha portato i seguenti dati:
1) Capitale medio: E[C(n)] = 2693
2) Mediana: M[C(n)] = 1185

In generale giocare ripetutamente ad un gioco leggermente squilibrato (0.51 di probabilità di sconfitta) risulta, nel 50% dei casi, una perdita di circa il 22% del proprio capitale.
Dividendo il capitale su due tavoli, questo porta, nel 50% dei casi, ad una vincita di circa il 18% del proprio capitale iniziale. Avendo diviso il capitale su due tavoli, abbiamo ridotto la volatilità senza perdere la positività della vincita media. Pensiamo alla sequenza combinata dei due giochi ABBAB, essa è vincente perchè in pratica "diluisce" la frequenza di gioco della moneta contraria tanto quanto basta a far sì che la moneta favorevole possa vincere un importo superiore alla somma delle perdite delle monete. In pratica nel solo Gioco B del paradosso di Parrondo, la moneta 2con, venendo giocata solo quando la cassa è divisibile per 3, viene usata 1/3 delle volte, ovvero il 33,33% circa.
Inserendo però nel contesto anche il Gioco A, se lo schema da seguire per la scelta della moneta da utilizzare è sempre ABBAB, questo verrà giocato il 40% delle volte, per cui la moneta dal suo 33,33% di frequenza nel solo Gioco B, scende ad 1/3 del restante 60%, ovvero al 20% nel gioco globale, cioè quel tanto che basta per permettere all'altra moneta (quella favorevole) di riuscire a superare lo svantaggio determinato dalle altre due monete avverse. In sostanza il Gioco A, sebbene svantaggioso di per sé, funge da elemento di disturbo sulla componente più svantaggiosa (2con) del Gioco B.


ALTRO ESEMPIO PRATICO COMUNE
La cosa sembra strana ma prendiamo in considerazione i seguenti due giochi:

Gioco A: si perde 1 euro ogni volta che si gioca

Gioco B: con tot soldi a disposizione, si vincono 3 euro se il numero di monete rimaste è pari, mentre si perdono 5 euro se esso è dispari

Giocando ad A si perde sempre, come pure giocando a B ripetutamente. Se si gioca esclusivamente ad A, dopo 100 puntate (100 euro) si perdono tutte le monete. Similmente, si verifica facilmente che, giocando esclusivamente a B, dopo 100 puntate si perdono ugualmente tutte le monete. Proviamo, però, ora a cambiare strategia, e a giocare alternativamente i due giochi, partendo da B e alternando con A, ossia una sequenza di B ed A (BABABA). Partendo da 100 monete di 1 euro e giocando B si vincono 3 euro (perché 100 è pari), e si hanno quindi a disposizione 103 monete. Ora, giocando A, si perde 1 euro, arrivando a 102 monete. Ripetendo un numero a piacere di volte la strategia, ad ogni due passi si vincono nettamente 2 euro. Dunque, a partire da due giochi iniqui e perdenti, c'è una strategia che prevede certamente una vincita netta. Il risultato inatteso nasce dal fatto che, sebbene ciascun gioco sia iniquo se giocato singolarmente, poiché i risultati del gioco B dipendono dal gioco A, la successione in cui si alternano i due giochi può in generale modificare quanto spesso il gioco B è vincente. In altre parole, il risultato finale è diverso dal caso in cui i due giochi vengono giocati singolarmente, poiché essi non sono realmente indipendenti tra loro. Ovviamente ci sono combinazioni quali ABABAB o anche BBAABBAABBAA che renderebbero la strategia perdente.


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