Il paradosso di San Pietroburgo riguarda un gioco con valore atteso infinito ma nella realtà nessuno pagherebbe cifre enormi per giocarci. Ovvero il valore atteso matematico diverge, ma l’utilità soggettiva (quanto realmente una persona valuta il guadagno) non cresce linearmente con il denaro.
Sostanzialmente lanci una moneta fino a quando esce testa (vale anche per rosso/nero). Se esce testa al primo lancio, vinci 2 €. Se esce testa al secondo lancio, vinci 4 €. Se esce testa al terzo, vinci 8 €.
Guadagno al lancio "n":
Se ripetessi il gioco infinite volte e potessi aspettare vincite enormi, la media tenderebbe a crescere senza limite quindi la matematica il gioco vale "un prezzo infinito" ( Valore Atteso, Varianza e Probabilità Di Vittoria ).
Malgrado ciò, ed è questo il paradosso, nessuno sarebbe disposto a pagare cifre astronomiche per poterci giocare perchè la probabilità di vincite alte è bassa (man mano che perdi, aumenta la posta in palio ma anche l'importo che giochi). Simulando 100.000 giocate del gioco di San Pietroburgo: la media empirica (valore atteso calcolato sui dati reali) è circa 17 €, ben lontano dall’infinito teorico. La mediana è solo 4€ (ovvero nel 50% dei casi vinci 4€ o meno). Ad esempio, per vincere 1 milione di euro serve aspettare testa il lancio numero 20 (probabilità 1 su 1.000.000). Per vincere 1 miliardo servirebbero più di 30 lanci (probabilità 1 su un miliardo). Quindi, anche se il guadagno è teoricamente enorme, praticamente non lo vedrai quasi mai.
MARTINGALA
La martingala è una strategia di scommessa applicata al lancio della moneta (testa/croce) o alla roulette (rosso/nero). Scommetti 1 € sul rosso (per esempio). Se perdi, raddoppi: 2 €. Se perdi ancora, raddoppi ancora: 4 €. E così via, finché vinci (in realtà la % non è proprio 50% ma leggermente meno perchè quella piccola differenza è quello che guadagna il Casinò). Quando vinci, ottieni sempre +1 € di profitto netto e puoi ricominciare. Sia la Martingala che il paradosso di San Pietroburgo hanno una struttura geometrica: piccola probabilità di vincite molto grandi. Entrambi sembrano vantaggiosi guardando solo la matematica ma di fatto c’è un problema: serve capitale infinito o un banco (puntate) senza limiti.
Nella realtà né i giocatori né i casinò hanno risorse infinite quindi, a causa di limiti massimi di giocata, la martingala fallisce. Dopo un certo numero di eventi negativi, non è possibile più raddoppiare la giocata quindi si sono persi i soldi. Riguardo i record consecutivi (rossi o neri) nella roulette:
-Monte Carlo (1913): 26 neri di fila. Ciò ha generato il termine "gambler’s fallacy": 26 risultati neri consecutivi al casinò di Monte Carlo il 18 agosto 1913. Un evento rarissimo, circa 1 su 66,6 milioni, che spinse molti a scommettere su rosso, convinti che il cambiamento fosse inevitabile.
-Casinò americano (1943): 32 rossi consecutivi. Il record più citato è un incredibile streak di 32 rossi consecutivi avvenuto in un casinò americano nel 1943. La probabilità in un tavolo europeo è di circa 1 su 10 miliardi e ancora più bassa su un tavolo americano (con doppio zero).
-Altri record menzionano fino a 33 rossi in Brasile nel 1947.
Anche con limiti "alti", perdite consecutive sostenibili restano piccole (7-8 raddoppi prima che la somma inizi a diventare grande) e la probabilità di "rovina per ciclo" (perdite consecutive che portano al limite massimo di giocata) non è trascurabile (dal ~1% allo ~0,25%). Un singolo ciclo sfortunato può spazzare via tutte le piccole vincite precedenti. Inoltre l’ultima puntata cresce molto in fretta, andando a sbattere contro i limiti. Sostanzialmente la non convenienza dipende da "piccole vincite" ed evento sfortunato che, a lungo termine, capita e porta alla perdita totale dell'intero capitale vinto in precedenza. E' un po' come giocare a un gioco dove se vinci...vinci poco ma se capita l'evento avverso (1% di possibilità) "esplode l'universo", ci giocheresti?
